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みたにっき@はてな

三谷純のブログ

円の透視投影

前川淳氏のブログに次のような記述がありましたので引用させていただきます。

ずっと以前、『絵の描き方』のような本で、斜めに描かれた円が楕円になるという解説を見たときも目からウロコだった。斜めから見た円が楕円になる。あたりまえでしょというひとがいるかもしれない。しかし、単純に平行投影した円が楕円になる(図下中)のはともかく、それを遠近法で描いたものも楕円になる(図下右)ということは、そんなに単純な話でもない。

確かに、円を平行投影したら楕円になるのは直感的に理解しやすいです。でも、透視投影した場合も楕円になる、というのは「言われてみればそうかもしれないなぁ」という感じで、なかなか「そのとおりだ」と納得するのは難しい気がします。

だったら試してみよう。ということで、さっそく試してみました。CGソフトがあれば、簡単に確認できます。便利な時代になりました。

上の図は、左から順番に次のようになっています。

  • 円を赤と青で二等分して真上から見たもの
  • 円を斜め上から平行投影したもの
  • 透視投影したもの
  • パースをきつくしたもの(視野角を大きくしたもの)
  • もっとパースをきつくしたもの(もっと視野角を大きくしたもの)

一番右端は、円の直径が上方にずれてしまってとても違和感がありますが、それでも円の透視投影は楕円である様子が確認できます。

続いて、前川氏の次のコメントについても確認してみました。

円錐をやや斜め上から見ると、平行投影では、錐面の半分以上が見えます。いっぽう、透視投影では、錐面の見える範囲は平行投影より狭くなります。これが相殺して、斜め上から見た透視投影で、ちょうど錐面の半分が見えるところがあります。消失点が円錐の頂点にぴったり合う視点で、錐面のちょうど半分が見えることになります(はずです)。

確認のためにまず、下図のような形を作ってみました。半分が赤、残り半分が青の円錐ですが、色の境目が真横から見てもわかるように、黄色の細い円柱を色の境目に配置しています。また、頂点を通り底面に平行な緑色の円柱も配置しています。

これを、異なる条件で投影すると次のようになります。

上の図は、左から順番に次のようになっています。

  • 真上から見た様子
  • 斜め上から平行投影したもの
  • 透視投影したもの
  • パースをきつくしたもの(視野角を大きくしたもの)
  • 緑色の円柱が点に見えるようにパースを調整したもの(もっと視野角を大きくしたもの)

一番右の図は次のようになっています。

確かに、黄色い円柱がちょうど輪郭線に乗っているように見えるので、前川氏の言う「消失点が円錐の頂点にぴったり合う視点で、錐面のちょうど半分が見えることになる」は正しいように思われます。
頑張れば数学的に証明できるでしょうか。


ちなみに、下の写真は今年の正月に地元の田子の浦港近くに新しくできた公園の写真。
円の投影が4つもあって(板の穴、板の穴の影、後方の2つの砂場)おもしろいでしょ(?)。
どこかで円の投影の話が出てきたら紹介しようと思って撮っておいた:-)


蛇足かもしれないですが、下の図のような3Dの円グラフはやっぱり使うべきではないですね。