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みたにっき@はてな

三谷純のブログ

格子パターンの折りたたみ方の数え上げ

(2014.11.13 追記: 数え上げ方の基本となる平坦折り可能な要素の列挙に誤りがありました。こちらに訂正内容を記しています。

現在、名古屋への出張中。

移動の新幹線の中で、ふと思いました。
次の格子パターンは、折り紙を4等分して、それぞれの四角形を対角線で折ったものです。

このパターンには、風車やだまし船、二そう船、前回のエントリの風船の基本形や座布団などなど、いろいろなおり紙の展開図が含まれます。
では、このパターンには、何通りの「平坦に折りたたみ可能なバリエーション」があるのだろうか??
移動中にノートにチマチマ書いて検討して、で宿泊先でプログラムを作って数え上げてみました。

まずは簡単なものから考えていきます。

次のような単純な折り筋のついた折り紙について、
(パターン1)
これを平坦に折りたたむには、「何も折らない」というのも含めて次の4通りの折り線の配置方法があります。(中央の2つは同じもの、とみなせば3通り)

次のように、対角線に折り筋がついたものはどうでしょう。
(パターン2)
これは、先ほどのものを45度回転させたものと同じと考えることができるので、やっぱり次の4とおりです。(中央の2つは同じもの、とみなせば3通り)

上記の2つを重ねあわせた、次のものについてはどうでしょう。
(パターン3)
実はこれ、結構たくさんあります。
とりあえず列挙すると、次のような感じ。

破線で囲んだ部分は90度、180度、270度回転させたものが存在するので4倍して、全部で28通り
回転や反転すると同じになるものを丁寧にチェックして除外すると、11種類のパターンが残ります。
そしてまた、実際に折った後のカタチを数え上げると7通りあることがわかります。


さて、それでは、次のパターンは?
(パターン4)
これは、先ほどのものに対して、4スミを折るか、折らないかの組み合わせ2^4=16通りを掛け合わせればよいので、28x16=448通りになります。
これは回転や反転によって重複するものは除外していない数です。


さらに、次のパターンは?
(パターン5)

これは、2つのパターン3が中央の水平な折り線を共有しているとみなすことができるので、
28x28/2。これに、4スミを折る・折らないの組み合わせ16通りを掛け合わせて、
28x28/2x16=6272通り。(これも回転や反転による重複は除外していません。)


さて次は?
(パターン6)
ここまで来ると、手計算は無理っぽいです。
コンピュータで数え上げてみた結果は154,176通りでした。
(訂正 2012.6.4)154,112通りでした。

で、ようやく最終目標。次のパターンは?

これもコンピュータで数え上げてみた結果652,172,928通りでした。6億5千万通り!
(訂正 2012.6.4)166,254,336通りでした。1億6千6百万通り!

かなりの数ですね。

ここから、回転や反転による重複を除くと、結構減るのでしょう。
数え上げたパターンは、すべて「局所的には折れる」ことが保障されていますが、大局的には保障されていないので、「実際には折りたためない」パターンがあるかもしれません。
これらを除いたとしても、数百万パターンはありそうです。

でも、実際に折って得られる形は、ググッと減りそうです。これも頑張ればコンピュータで列挙できるのだろうけど、結構手間がかかりそう。

簡単な格子パターンで作れて、なおかつ風車やだまし船など、何かに見立てられる、未発見のパターンがまだあるかもしれません。


ISSEI MIYAKE の Bilbao シリーズのバッグのパターン。たたみ方は何通りあるだろうか!?
http://www.isseymiyake.com/news/brand/bao_bao/bao_bao_issey_miyake_4.html