Illustrator では円を正確に表現できないわけ

Illustrator などで使われる3次ベジェ曲線では、正確な円を描くことができない（微小な誤差がある）ということは、わりと知られているような気がするのだけど、

それは、なぜ？

ということをしっかり説明したページは見かけない（あるかもしれないです）ので、確認の方法を書いてみたいと思います。

まず、3次のベジェ曲線は、パラメータ $0 \leq t \leq 1$ の3次の多項式で次のような形で表現することができます。

$x(t)=a_3 t^3 + a_2 t^2 + a_1 t + a_0$

$y(t)=b_3 t^3 + b_2 t^2 + b_1 t + b_0$

ただし、 $a_3 \neq 0, b_3 \neq 0$ です。

さて、このような式が一般性を失うことなく、原点を中心とする半径1の円を表せる仮定すると、

$x(t)^2 + y(t)^2 - 1= 0$

となります。

つまり、

$(a_3 t^3 + a_2 t^2 + a_1 t + a_0) ^2 + (b_3 t^3 + b_2 t^2 + b_1 t + b_0)^2-1=0$

であり、これを展開すると

$(a_3^2 + b_3^2)t^6 + \square t^5 + \square t^4 +\square t^3 +\square t^2 + \square t + a_0^2 + b_0^2 - 1=0$

となります（ $t^5$ から $t$ の係数は $\square$ 記号で省略しました）。

これが恒等式となるためには、すべての係数が0でなくてはいけないので、 $t^6$ の係数に注目すると

$a_3^2 + b_3^2=0$

であるため、 $a_3=0, b_3=0$ となります。

これは冒頭で $a_3 \neq 0, b_3 \neq 0$ と言っていたことと矛盾します。

以上で、3次ベジェ曲線では、円を表現できないことを示せました。

（次数に依らず、n次ベジェ曲線では円を表現できないことを、同じようにして示すことができます。）

みたにっき＠はてな