みたにっき@はてな

三谷純のブログ

Illustrator では円を正確に表現できないわけ

Illustrator などで使われる3次ベジェ曲線では、正確な円を描くことができない(微小な誤差がある)ということは、わりと知られているような気がするのだけど、

それは、なぜ?

ということをしっかり説明したページは見かけない(あるかもしれないです)ので、確認の方法を書いてみたいと思います。

 

まず、3次のベジェ曲線は、パラメータ 0 \leq t \leq 1 の3次の多項式で次のような形で表現することができます。

x(t)=a_3 t^3 + a_2 t^2 + a_1 t + a_0

y(t)=b_3 t^3 + b_2 t^2 + b_1 t + b_0

ただし、a_3 \neq 0, b_3 \neq 0 です。

 

さて、このような式が一般性を失うことなく、原点を中心とする半径1の円を表せる仮定すると、

x(t)^2 + y(t)^2 - 1= 0

となります。

 

つまり、

 (a_3 t^3 + a_2 t^2 + a_1 t + a_0) ^2 + (b_3 t^3 + b_2 t^2 + b_1 t + b_0)^2-1=0

であり、これを展開すると

 (a_3^2 + b_3^2)t^6 + \square t^5 + \square t^4 +\square t^3 +\square t^2 + \square t + a_0^2 + b_0^2 - 1=0

となります(t^5からtの係数は\square記号で省略しました)。

これが恒等式となるためには、すべての係数が0でなくてはいけないので、t^6の係数に注目すると

 a_3^2 + b_3^2=0

であるため、a_3=0, b_3=0となります。

これは冒頭でa_3 \neq 0, b_3 \neq 0 と言っていたことと矛盾します。

 

以上で、3次ベジェ曲線では、円を表現できないことを示せました。

(次数に依らず、n次ベジェ曲線では円を表現できないことを、同じようにして示すことができます。)

 

 

 

 

 

 

 

 

文化庁文化交流使

本日、文化庁にて、平成31年度の文化交流使を拝命しました。

 

文化庁のWebページに

文化庁では、芸術家、文化人等、文化に関わる方々を一定期間「文化交流使」に指名し、世界の人々の日本文化への理解の深化につながる活動や、外国の文化人とのネットワークの形成・強化に繋がる活動を展開しています。 https://culturalenvoy.jp/about.html

と記載されているように、世界の人々に日本文化を伝え、外国の文化人とのネットワークを形成することなどが期待されているようです。

 

今年度は、私を含め6名が指名されました。大変名誉なことである一方で、尺八、和菓子、京料理、歌舞伎、盆栽という、我が国の誇る文化の道を究めてこられた方々のなかに、「折り紙」というキーワードで、大学の教員である私が含まれることに、大きな不安を感じています。

私を除く皆さまが、まさに文化人と呼ぶにふさわしいなか、コンピュータサイエンスを専攻する理系の人間が含まれてよいものかと心配ではありますが、委縮してもよいことはないでしょうから、これまでの活動を評価いただいたものと考え、ここは開き直って、前向きに取り組んでいきたいと思っています。

 

具体的には、今年の10月下旬から12月下旬までの2か月間にわたって、中国、フィリピン、マレーシア、バングラデシュ、インド、タイ、ミャンマーベトナムの8か国を回る計画となっています。各国1週間の滞在で、ワークショップや講演、展示会などを行う予定です。なんとも慌ただしいスケジュールで、体力勝負のような気がします。

 

これまでに、スイス、イタリア、イスラエルサウジアラビアなどで、自分の作品をベースとしたワークショップをしたことがあるので、いざとなれば、何とでもなるかと思うのですが、「文化交流」という目的を背負っている以上、自分の作品ばかり紹介するのではダメでしょう。日本の誇る折紙文化をしっかり伝えられるよう、今から勉強と準備を十分にしたいと思っています。

 

実際に現地に赴くのはまだ先の話なので、それほど実感はないのですが、まずは体力づくりをして、訪問先では笑顔を絶やさず、ベストコンディションで過ごせるようにしたいと思っています。

 

今日は、文化庁文化庁長官室で、宮田長官直々に書状を手渡していただきました。長官室にある大きな銅鑼も鳴らさせていただきました!。

関係者の方々、他の文化交流使の方々とも談話の時間をいただき、普段と違う新鮮な場を楽しませていただきました。

 

まだどうなるかわかりませんが、後で振り返ったときには人生の大きなイベントとなることは間違いないでしょうから、今から楽しみです。

 

※ 2か月間、大学を離れることをお許しくださった大学関係者の皆様に感謝いたします。

ペンローズタイル

前回の記事で、下の写真のペンローズタイルのことを紹介しました。

このタイル張りは、オックスフォード大学の Mathematical Institute の建物 The Andrew Wiles Building の前の広場で見ることができます。

Our Building | Mathematical Institute

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とてもユニークなタイルパターンで、Wikipediaの説明の中では、

 平面充填しようとすると非周期的な並べ方が強制される非周期的平面充填の一種であり、二種類のみを使う唯一のものである。

 と説明されています。

ペンローズ・タイル - Wikipedia

 

日本語のページはわりと簡潔な説明にとどまっているものの、英語のページはかなりの分量で説明があるので、興味を持たれた場合には、英語の説明を見てみるとよいでしょう。

Penrose tiling - Wikipedia

 

このタイルパターンを発見したロジャー・ペンローズは、第7回折り紙の国際会議の会場となったイギリス オックスフォード大学の教授です。

Roger Penrose - Wikipedia

 

上記の写真のタイルは、まさにそのオックスフォード大学の数学科のキャンパス内に敷き詰められたものですが、かなり特殊なパターンであるために、実際の施工にはかなり時間がかかったようです。

こちらに実際にタイルを敷き詰めている様子のタイムラプス動画がありました。

www.youtube.com

動画右下のタイムスタンプを見ると、どうやら完成までに6か月以上を要したようです。

 

下の写真は、オックスフォードのThe Andrew Wiles Buildingに掲示してあったパネルで、オックスフォード の数学のABCが紹介されています(実際はDEF・・とさらに先までありました)。

この先頭のAが、Aperiodic tiles(非周期性タイル)となっていて、まさにペンローズタイルについて紹介している点が象徴的です。

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Twitter では、本当に2種類のタイルからできていることをPhotoShopを使って確認した、という方の投稿もありました。

 

このペンローズタイルは、幾何学模様が好きなコミュニティ(折り紙が好きなコミュニティとかなり重複しています)ではとても有名で、アメリカの折り紙研究家のRobert Lang氏が、真上から眺めるとペンローズタイルの敷き詰めが現れる折紙作品 Pentasia を2013年に発表しています。

Paper Pentasia: An Aperiodic Surface in Modular Origami | SpringerLink

下の写真は、この論文で紹介されているもので、複数のパーツを組み合わせて作るモジュラー折り紙作品です。

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Robert Lang氏は、ほかにも1枚の紙から同様の形を折りだすこともしていて、その展開図がこちらで公開されています。

https://langorigami.com/crease-pattern/single-sheet-pentasia-opus-645/

 

 

 

ペンローズといえば、不可能立体でも有名で、誰もが見たことがあるであろう、以下の形は「ペンローズの三角形」と呼ばれています。

 

ペンローズの三角形 - Wikipedia

 

一部分だけ取り出せば、まったく問題のない、実際に存在しうる形のようでありながら、全体が整合するような立体は存在しない、「不可能図形」または「錯視立体」の代表的なものとして知られています。

不可能図形 - Wikipedia

 

このような、実在しえない不可能図形を、特定の視点から眺めた時に限って再現するような取り組みもいろいろされています。

ペンローズタイルの話から脱線しましたが、このように楽しい幾何学の世界は、いろいろリンクしています。

 

7OSME(第7回 折紙の国際会議)の参加報告:写真編

9月5日~7日の3日間にわたり、イギリス オックスフォードにて開催された 第7回 折紙の国際会議
「7th International Meeting on Origami in Science, Mathematics and Education (7OSME)」
に参加してきた期間に撮影した写真をいくつか紹介。

 

 

オックスフォードに到着早々、圧倒されたのは移動式遊園地。

裏から眺めるとわかるのですが、アトラクション全部がトラックで運ばれてきて、そのまま現地で展開、設営されています。表から見ると、迫力満点のアトラクション。賑やかな色彩と大きな音の中、子どもたちが楽しそうにしていました。

数日後には、跡形もなく姿を消していて、とても驚きました。

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プログラム委員、運営委員らを招いての初日の夕食会。オックスフォード大学の数あるカレッジの1つの食堂。ハリーポッターに登場しそうな雰囲気です。

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会場は、オックスフォード大学のセント・アンズ・カレッジ。宿泊先も食堂も会場も、バーも全部、敷地内に揃っています。写真は、宿泊した部屋の入っている建物。

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オープニングセッションは、THE MATHEMATICAL INSTITUTE の講堂にて。

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THE MATHEMATICAL INSTITUTE の講堂前の広場は、ペンローズタイルの模様が敷き詰められていました。これはたった2種類のタイルの組み合わせでできていて、周期性がないという点に特徴があります。

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Twitterで紹介したところ、多くの反響がありました。

 

 

会場の書籍販売コーナーでは、私の「3D Origami Art」の本も並べられていました。ありがたいです。会期中、無事に売り切れたようです。

 

 

講演の最中に、いろいろな折紙作品が回覧用に回ってきます。

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7OSMEの後は、イギリス折紙協会によるコンベンションが同じ会場で開催されました。

 

 

 

最後におまけの1枚。

ピザ屋に入った時のメニューが、ビット演算ぽくて、僕にはとても気に入りました。

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7OSME(第7回 折紙の国際会議)の参加報告

9月5日~7日の3日間にわたり、イギリス オックスフォードにて開催された 第7回 折紙の国際会議
に参加してきましたので、その簡単な報告を書いてみたいと思います。
 
ちなみに、折紙の国際会議はまるでオリンピックのように4年に1回開催されるもので、前回は1994年に東京大学で開催されました。

今回も、前回同様に約300名の参加があり、発表件数は約120件でした。
 
当初、Abstract投稿は207件あり、そのうち査読を経て proceeding に掲載されたものは96件、内訳は次の通りです。
Art 11件 
Education 5件
History 2件
Other science 5件
Mathematics 23件
Engineering 50件

予稿集は4分冊で全部で1200ページを超えるほどになっています。
書籍としてオンラインで購入可能です。

OSME7 Complete Set of 4 Volumes - The proceedings from the seventh meeting of Origami, Science, Mathematics and Education - Tarquin Group


概要だけであれば、会議のWebサイトのプログラムのページ 
http://osme.info/7osme/program.html
からダウンロードできます。

このうち私が関わる発表は4件です。
・Jun Mitani, "Basic Techniques and a Novel Notation for Curved Origami Design"
・Kazuki Ohshima, Ryuhei Uehara, and Jun Mitani , "Optimal Solution Search for the Origami Checkerboard Puzzle"
・Yuka Watanabe and Jun Mitani, "Modelling the Folding Motions of the Curved Folds"
・Yohei Yamamoto, and Jun Mitani, "Two-Layered Origami Tessellation"
(私自身が口頭発表したのは最初の1件です)

前回は、curved fold, self-folding の発表が目立ちましたが、 今回はどちらも件数が少なく、その代わりに simulation, rigid-fold が多かった印象です。設計においては tessellation を扱うものが多くありました。

当日は4つのセッションがパラレルに進行し、それぞれのセッション名だけ取り出すと次のような感じです。

工学
  Rigid Origami, Deployable Structures, Folded Core Structures
  Mechanical Behavior, Simulation, Fabrication, Robotics
  Geometric Constructions, Thick Panel Origami
数学
  Metamaterials, Theory, Colour Change Origami
  Flat Origami and Tessellations,
芸術(設計)
  Art and Design, Origami Design, Design of Origami Structures
  Tessellations, Curved Folds and Tessellations
教育、歴史
  Education, History, Science

全体的に、純粋に数学的な観点から議論するものよりも、工学的な視点から実用化を目指したものが増えたように思います。 とくに、最近になって増加傾向のある中国からの発表は、ほとんどが工学的なものでした。 長いこと、折り紙愛好家が純粋な興味から細々と取り組んできた研究領域に、
多くの研究予算を持った、所謂、競争原理に基づく研究チームが参入してきたような印象で、これは、どの分野においても、分野が発展する過程で経験するものなのかな、という気がします。

Keynote で最後の締めとなった東京大学の舘知宏先生の発表は、彼の過去10年間の取り組みを総括するもので、とても価値あるものでした。

折紙分野における研究では、Erik Demaine, Robert Lang, Thomas Hull, Tomohiro Tachi の4名が際立った業績を出していますが、ここ最近では舘先生の活躍が目立っている印象です。

日本からは30名程度の参加者がありましたが、これは全体の1割程度に過ぎず、折り紙の世界も国際化が大いに進んだように思います。

7OSMEの後には、BOS(British Origami Society)のイベントが2日あり、ここでは純粋に折り紙を楽しむイベントとして、多くのワークショップが開催されました。日本で開催されるワークショップとの違いとしては、わりと高齢者の参加が多く、動物や昆虫のような具象物ではなくて、Tessellationやモジュラー折り紙が好まれる傾向にあるようでした。

会場はオックスフォード大学の数あるカレッジの中の1つ、セント・アンズ・カレッジで、宿舎を含め、大きな食堂、会議場があり、イベント期間中は3回の食事を含めて、すべてがこのカレッジの中で完結してしまいました。折り紙コミュニティの人たちが密集した空間で、楽しい意見交換を行うことができ、とても充実した時間を過ごすことができました。
 
次の開催はまた4年後です。その時までの折紙の研究の進展が楽しみです。
 
 

クリスト・ヴラディミロフ・ヤヴァシェフ氏のThe London Mastaba

膨大な数のドラム缶を積み上げたクリスト・ヴラディミロフ・ヤヴァシェフ氏の作品「The London Mastaba」が完成したとのニュースに触れて、とても感慨深く思ったので、そのことについて書いてみたいと思います。

 

www.afpbb.com

 

クリスト氏の壮大なスケールの作品の存在を知って、なんだこれは!? と、大きな衝撃を受けたのが、今から10年くらい前のことになります。

いろいろなものを布で包み込む「梱包」を一連の作品としていて、日用品を包んだ作品が次第にスケールアップし、ついには建物、橋と言った巨大なものを包んだ作品が登場するようになります。はては、ロッキー山脈の谷にカーテンを張るとか、島を布で囲うようにするとか、常人では思いもつかないことを実現しています。

 

詳しくは、直接クリスト氏のWebページを見たり、Wikipediaで見たりするとよいでしょう。

christojeanneclaude.net

クリスト - Wikipedia

 

そして、今からちょうど一年前に、東京ミッドタウン 21_21 DESIGN SIGHT で開催された
「そこまでやるか 壮大なプロジェクト展」

21_21 DESIGN SIGHT | 「『そこまでやるか』壮大なプロジェクト展」 | 開催概要

に行ったときに、そこでクリスト氏のコンセプトをビデオ映像を通してじっくり観ることができました。

 

スケールが巨大な作品でありながら、どれも存続するのは短期間で、一見するととても無駄なことのように感じ、いったいその費用はどのように捻出しているのか気になりましたが、制作費はすべて、クリスト氏の絵画を売ることで賄っているとのことでした。その絵画は、これから作りたい巨大オブジェの完成予想図であるというのが、とてもユニークなところです。ある意味、絵画を通してスポンサーを募っているわけです。

 

当然、「なぜこんな巨大なものを作るのか?」という疑問がわくわけですが、インタビューでの質問に「なぜなら自分がそれを見てみたいから」と回答していたことが、とても強く印象に残っています。

 

そのビデオ映像の中で、ドラム缶を積み上げた巨大なオブジェを作りたい、ということを話していたのですが、今回のニュースを通じて、それがついに実現したことを知りました。情熱というよりも、もはや執念のようなものを感じます。

 

美術館を包んだ作品だったり、今回のドラム缶のオブジェだったり、あまりに巨大なものは、コンピュータグラフィックスで十分にリアルに再現できると思うのですが、それでもやっぱり、実物を作り、実際にその場で見ることで、初めて感じることができる何かがあるのです。

 

インボリュート曲線と developable helicoid

どのような経緯か忘れてしまったのだけど、たまたま見ていたClaudio Rocchini氏のページ

Claudio Rocchini Math - Curves and Surfaces

に、次のこのインボリュート歯車のアニメーションが紹介されていて驚きました。

 

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File:Involute wheel.gif - Wikimedia Commons

 

このアニメーションは、Wikipediaに掲載されているもので、僕のお気に入りの一つです。過去には東大の図形科学の授業で、インボリュート曲線の活用例として紹介したこともあります。

 

喜んで Claudio Rocchini氏のページに目を通していたら、アニメーションを作った時のコードを紛失して、もはや再現する方法がわからないという衝撃の説明文が!

このアニメーションをゼロから作るのは、ちょっと手間がかかりそう。

 

I generate the animation and lost the generating codes! I am no longer able to write it again. Someone can explain me how I did? 

 

 

ちなみに、インボリュート歯車の歯の形は、名前の通り「インボリュート曲線」でできていて、隣の歯車との接点が連続的に移動する(連続的に力を伝達できる)という利点があります。

 

アニメーションで示される青い矢印は接点での法線方向で、力の伝達方向を示しています。この角度を「圧力角(pressure angle)」と言って、20度くらいが一般的のようです。

 

ちなみに、円柱に糸を巻き付けてから、糸をピンと張りながら解いていったときに、糸の先端が描く軌跡がインボリュート曲線となります。

 

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インボリュート曲線 - Wikipedia

 

図形科学の授業で紹介した内容ですが、
常螺旋の接線で作られる曲面(developable helicoid または helical convolute)を水平面で切断すると、このインボリュート曲線が現れます。

これは、下の動画で確認できます。

 


Cross-section of developable helicoid

 

授業の中では、ヘリカルコンボリュート曲面という名称で紹介しましたが、ネットで検索した限りでは、helical convolute よりは developable helicoid という表記の方が多いような感じでした。 

 

この developable helicoid は線織面なので、直線の集まりで構成されていて、下の写真のような感じで糸を張った模型で表現することもできます。

 

ちなみにこれは、6年前に作ったもので、当時の記事がこちらにあります。

糸で作る線織面 - みたにっき@はてな

 

 

他にも、この曲面関係では、以下の2つの記事を書いたことがあります。

下の記事では、曲面の幾何モデルを作るためのプログラムコードを紹介しています。

 

junmitani.hatenablog.com

 

次の記事では、今回と同じように、断面がインボリュート曲面になることを紹介しています。

junmitani.hatenablog.com

 

図形は楽しい!