みたにっき@はてな

三谷純のブログ

ペンローズタイル

前回の記事で、下の写真のペンローズタイルのことを紹介しました。

このタイル張りは、オックスフォード大学の Mathematical Institute の建物 The Andrew Wiles Building の前の広場で見ることができます。

Our Building | Mathematical Institute

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とてもユニークなタイルパターンで、Wikipediaの説明の中では、

 平面充填しようとすると非周期的な並べ方が強制される非周期的平面充填の一種であり、二種類のみを使う唯一のものである。

 と説明されています。

ペンローズ・タイル - Wikipedia

 

日本語のページはわりと簡潔な説明にとどまっているものの、英語のページはかなりの分量で説明があるので、興味を持たれた場合には、英語の説明を見てみるとよいでしょう。

Penrose tiling - Wikipedia

 

このタイルパターンを発見したロジャー・ペンローズは、第7回折り紙の国際会議の会場となったイギリス オックスフォード大学の教授です。

Roger Penrose - Wikipedia

 

上記の写真のタイルは、まさにそのオックスフォード大学の数学科のキャンパス内に敷き詰められたものですが、かなり特殊なパターンであるために、実際の施工にはかなり時間がかかったようです。

こちらに実際にタイルを敷き詰めている様子のタイムラプス動画がありました。

www.youtube.com

動画右下のタイムスタンプを見ると、どうやら完成までに6か月以上を要したようです。

 

下の写真は、オックスフォードのThe Andrew Wiles Buildingに掲示してあったパネルで、オックスフォード の数学のABCが紹介されています(実際はDEF・・とさらに先までありました)。

この先頭のAが、Aperiodic tiles(非周期性タイル)となっていて、まさにペンローズタイルについて紹介している点が象徴的です。

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Twitter では、本当に2種類のタイルからできていることをPhotoShopを使って確認した、という方の投稿もありました。

 

このペンローズタイルは、幾何学模様が好きなコミュニティ(折り紙が好きなコミュニティとかなり重複しています)ではとても有名で、アメリカの折り紙研究家のRobert Lang氏が、真上から眺めるとペンローズタイルの敷き詰めが現れる折紙作品 Pentasia を2013年に発表しています。

Paper Pentasia: An Aperiodic Surface in Modular Origami | SpringerLink

下の写真は、この論文で紹介されているもので、複数のパーツを組み合わせて作るモジュラー折り紙作品です。

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Robert Lang氏は、ほかにも1枚の紙から同様の形を折りだすこともしていて、その展開図がこちらで公開されています。

https://langorigami.com/crease-pattern/single-sheet-pentasia-opus-645/

 

 

 

ペンローズといえば、不可能立体でも有名で、誰もが見たことがあるであろう、以下の形は「ペンローズの三角形」と呼ばれています。

 

ペンローズの三角形 - Wikipedia

 

一部分だけ取り出せば、まったく問題のない、実際に存在しうる形のようでありながら、全体が整合するような立体は存在しない、「不可能図形」または「錯視立体」の代表的なものとして知られています。

不可能図形 - Wikipedia

 

このような、実在しえない不可能図形を、特定の視点から眺めた時に限って再現するような取り組みもいろいろされています。

ペンローズタイルの話から脱線しましたが、このように楽しい幾何学の世界は、いろいろリンクしています。

 

7OSME(第7回 折紙の国際会議)の参加報告:写真編

9月5日~7日の3日間にわたり、イギリス オックスフォードにて開催された 第7回 折紙の国際会議
「7th International Meeting on Origami in Science, Mathematics and Education (7OSME)」
に参加してきた期間に撮影した写真をいくつか紹介。

 

 

オックスフォードに到着早々、圧倒されたのは移動式遊園地。

裏から眺めるとわかるのですが、アトラクション全部がトラックで運ばれてきて、そのまま現地で展開、設営されています。表から見ると、迫力満点のアトラクション。賑やかな色彩と大きな音の中、子どもたちが楽しそうにしていました。

数日後には、跡形もなく姿を消していて、とても驚きました。

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プログラム委員、運営委員らを招いての初日の夕食会。オックスフォード大学の数あるカレッジの1つの食堂。ハリーポッターに登場しそうな雰囲気です。

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会場は、オックスフォード大学のセント・アンズ・カレッジ。宿泊先も食堂も会場も、バーも全部、敷地内に揃っています。写真は、宿泊した部屋の入っている建物。

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オープニングセッションは、THE MATHEMATICAL INSTITUTE の講堂にて。

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THE MATHEMATICAL INSTITUTE の講堂前の広場は、ペンローズタイルの模様が敷き詰められていました。これはたった2種類のタイルの組み合わせでできていて、周期性がないという点に特徴があります。

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Twitterで紹介したところ、多くの反響がありました。

 

 

会場の書籍販売コーナーでは、私の「3D Origami Art」の本も並べられていました。ありがたいです。会期中、無事に売り切れたようです。

 

 

講演の最中に、いろいろな折紙作品が回覧用に回ってきます。

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7OSMEの後は、イギリス折紙協会によるコンベンションが同じ会場で開催されました。

 

 

 

最後におまけの1枚。

ピザ屋に入った時のメニューが、ビット演算ぽくて、僕にはとても気に入りました。

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7OSME(第7回 折紙の国際会議)の参加報告

9月5日~7日の3日間にわたり、イギリス オックスフォードにて開催された 第7回 折紙の国際会議
に参加してきましたので、その簡単な報告を書いてみたいと思います。
 
ちなみに、折紙の国際会議はまるでオリンピックのように4年に1回開催されるもので、前回は1994年に東京大学で開催されました。

今回も、前回同様に約300名の参加があり、発表件数は約120件でした。
 
当初、Abstract投稿は207件あり、そのうち査読を経て proceeding に掲載されたものは96件、内訳は次の通りです。
Art 11件 
Education 5件
History 2件
Other science 5件
Mathematics 23件
Engineering 50件

予稿集は4分冊で全部で1200ページを超えるほどになっています。
書籍としてオンラインで購入可能です。

OSME7 Complete Set of 4 Volumes - The proceedings from the seventh meeting of Origami, Science, Mathematics and Education - Tarquin Group


概要だけであれば、会議のWebサイトのプログラムのページ 
http://osme.info/7osme/program.html
からダウンロードできます。

このうち私が関わる発表は4件です。
・Jun Mitani, "Basic Techniques and a Novel Notation for Curved Origami Design"
・Kazuki Ohshima, Ryuhei Uehara, and Jun Mitani , "Optimal Solution Search for the Origami Checkerboard Puzzle"
・Yuka Watanabe and Jun Mitani, "Modelling the Folding Motions of the Curved Folds"
・Yohei Yamamoto, and Jun Mitani, "Two-Layered Origami Tessellation"
(私自身が口頭発表したのは最初の1件です)

前回は、curved fold, self-folding の発表が目立ちましたが、 今回はどちらも件数が少なく、その代わりに simulation, rigid-fold が多かった印象です。設計においては tessellation を扱うものが多くありました。

当日は4つのセッションがパラレルに進行し、それぞれのセッション名だけ取り出すと次のような感じです。

工学
  Rigid Origami, Deployable Structures, Folded Core Structures
  Mechanical Behavior, Simulation, Fabrication, Robotics
  Geometric Constructions, Thick Panel Origami
数学
  Metamaterials, Theory, Colour Change Origami
  Flat Origami and Tessellations,
芸術(設計)
  Art and Design, Origami Design, Design of Origami Structures
  Tessellations, Curved Folds and Tessellations
教育、歴史
  Education, History, Science

全体的に、純粋に数学的な観点から議論するものよりも、工学的な視点から実用化を目指したものが増えたように思います。 とくに、最近になって増加傾向のある中国からの発表は、ほとんどが工学的なものでした。 長いこと、折り紙愛好家が純粋な興味から細々と取り組んできた研究領域に、
多くの研究予算を持った、所謂、競争原理に基づく研究チームが参入してきたような印象で、これは、どの分野においても、分野が発展する過程で経験するものなのかな、という気がします。

Keynote で最後の締めとなった東京大学の舘知宏先生の発表は、彼の過去10年間の取り組みを総括するもので、とても価値あるものでした。

折紙分野における研究では、Erik Demaine, Robert Lang, Thomas Hull, Tomohiro Tachi の4名が際立った業績を出していますが、ここ最近では舘先生の活躍が目立っている印象です。

日本からは30名程度の参加者がありましたが、これは全体の1割程度に過ぎず、折り紙の世界も国際化が大いに進んだように思います。

7OSMEの後には、BOS(British Origami Society)のイベントが2日あり、ここでは純粋に折り紙を楽しむイベントとして、多くのワークショップが開催されました。日本で開催されるワークショップとの違いとしては、わりと高齢者の参加が多く、動物や昆虫のような具象物ではなくて、Tessellationやモジュラー折り紙が好まれる傾向にあるようでした。

会場はオックスフォード大学の数あるカレッジの中の1つ、セント・アンズ・カレッジで、宿舎を含め、大きな食堂、会議場があり、イベント期間中は3回の食事を含めて、すべてがこのカレッジの中で完結してしまいました。折り紙コミュニティの人たちが密集した空間で、楽しい意見交換を行うことができ、とても充実した時間を過ごすことができました。
 
次の開催はまた4年後です。その時までの折紙の研究の進展が楽しみです。
 
 

クリスト・ヴラディミロフ・ヤヴァシェフ氏のThe London Mastaba

膨大な数のドラム缶を積み上げたクリスト・ヴラディミロフ・ヤヴァシェフ氏の作品「The London Mastaba」が完成したとのニュースに触れて、とても感慨深く思ったので、そのことについて書いてみたいと思います。

 

www.afpbb.com

 

クリスト氏の壮大なスケールの作品の存在を知って、なんだこれは!? と、大きな衝撃を受けたのが、今から10年くらい前のことになります。

いろいろなものを布で包み込む「梱包」を一連の作品としていて、日用品を包んだ作品が次第にスケールアップし、ついには建物、橋と言った巨大なものを包んだ作品が登場するようになります。はては、ロッキー山脈の谷にカーテンを張るとか、島を布で囲うようにするとか、常人では思いもつかないことを実現しています。

 

詳しくは、直接クリスト氏のWebページを見たり、Wikipediaで見たりするとよいでしょう。

christojeanneclaude.net

クリスト - Wikipedia

 

そして、今からちょうど一年前に、東京ミッドタウン 21_21 DESIGN SIGHT で開催された
「そこまでやるか 壮大なプロジェクト展」

21_21 DESIGN SIGHT | 「『そこまでやるか』壮大なプロジェクト展」 | 開催概要

に行ったときに、そこでクリスト氏のコンセプトをビデオ映像を通してじっくり観ることができました。

 

スケールが巨大な作品でありながら、どれも存続するのは短期間で、一見するととても無駄なことのように感じ、いったいその費用はどのように捻出しているのか気になりましたが、制作費はすべて、クリスト氏の絵画を売ることで賄っているとのことでした。その絵画は、これから作りたい巨大オブジェの完成予想図であるというのが、とてもユニークなところです。ある意味、絵画を通してスポンサーを募っているわけです。

 

当然、「なぜこんな巨大なものを作るのか?」という疑問がわくわけですが、インタビューでの質問に「なぜなら自分がそれを見てみたいから」と回答していたことが、とても強く印象に残っています。

 

そのビデオ映像の中で、ドラム缶を積み上げた巨大なオブジェを作りたい、ということを話していたのですが、今回のニュースを通じて、それがついに実現したことを知りました。情熱というよりも、もはや執念のようなものを感じます。

 

美術館を包んだ作品だったり、今回のドラム缶のオブジェだったり、あまりに巨大なものは、コンピュータグラフィックスで十分にリアルに再現できると思うのですが、それでもやっぱり、実物を作り、実際にその場で見ることで、初めて感じることができる何かがあるのです。

 

インボリュート曲線と developable helicoid

どのような経緯か忘れてしまったのだけど、たまたま見ていたClaudio Rocchini氏のページ

Claudio Rocchini Math - Curves and Surfaces

に、次のこのインボリュート歯車のアニメーションが紹介されていて驚きました。

 

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File:Involute wheel.gif - Wikimedia Commons

 

このアニメーションは、Wikipediaに掲載されているもので、僕のお気に入りの一つです。過去には東大の図形科学の授業で、インボリュート曲線の活用例として紹介したこともあります。

 

喜んで Claudio Rocchini氏のページに目を通していたら、アニメーションを作った時のコードを紛失して、もはや再現する方法がわからないという衝撃の説明文が!

このアニメーションをゼロから作るのは、ちょっと手間がかかりそう。

 

I generate the animation and lost the generating codes! I am no longer able to write it again. Someone can explain me how I did? 

 

 

ちなみに、インボリュート歯車の歯の形は、名前の通り「インボリュート曲線」でできていて、隣の歯車との接点が連続的に移動する(連続的に力を伝達できる)という利点があります。

 

アニメーションで示される青い矢印は接点での法線方向で、力の伝達方向を示しています。この角度を「圧力角(pressure angle)」と言って、20度くらいが一般的のようです。

 

ちなみに、円柱に糸を巻き付けてから、糸をピンと張りながら解いていったときに、糸の先端が描く軌跡がインボリュート曲線となります。

 

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インボリュート曲線 - Wikipedia

 

図形科学の授業で紹介した内容ですが、
常螺旋の接線で作られる曲面(developable helicoid または helical convolute)を水平面で切断すると、このインボリュート曲線が現れます。

これは、下の動画で確認できます。

 


Cross-section of developable helicoid

 

授業の中では、ヘリカルコンボリュート曲面という名称で紹介しましたが、ネットで検索した限りでは、helical convolute よりは developable helicoid という表記の方が多いような感じでした。 

 

この developable helicoid は線織面なので、直線の集まりで構成されていて、下の写真のような感じで糸を張った模型で表現することもできます。

 

ちなみにこれは、6年前に作ったもので、当時の記事がこちらにあります。

糸で作る線織面 - みたにっき@はてな

 

 

他にも、この曲面関係では、以下の2つの記事を書いたことがあります。

下の記事では、曲面の幾何モデルを作るためのプログラムコードを紹介しています。

 

junmitani.hatenablog.com

 

次の記事では、今回と同じように、断面がインボリュート曲面になることを紹介しています。

junmitani.hatenablog.com

 

図形は楽しい!

曲線折りでのタイリングパターン(エッシャー的な)

上野の森美術館で、エッシャー展が行われています。

ミラクル エッシャー展 公式ホームページ | 見どころやチケット情報など 

 

大変盛況なようですが、僕自身も、子どもの頃に初めて見たエッシャーの不思議な絵に魅せられて、どういう仕組みになっているのだろうかと考えあぐねた経験を持っています。

 

直接エッシャーの作品のどれかに関係するわけでは無いですが、なんとなくエッシャーっぽいタイリングパターンの曲線折り紙を作ってみました。

 

 

サカナのような先のとがった形が、左側では上を向いて並んでいて、右側では下を向いて並んでいます。エッシャーのモーフィングの技法っぽいと言えなくもないような気がします。

よく見ると、上を向いた形は凹。下を向いた形は凸の曲面でできています。

 

全体は下の写真のように波打った形をしています。先ほどの、正面から撮った様子とはだいぶ印象が違います。全体としては左側が凸で、右側が凹に湾曲しているのです。

 

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展開図は下図の通り。山折りを実線、谷折りを破線で示しています。

 

展開図のPDFファイルをこちらで公開しているので、興味がありましたら作ってみてください。

http://mitani.cs.tsukuba.ac.jp/dl/2018/20180614_curved_crease_tiling_mitani.pdf

よく見ると気づくと思いますが、すべて同じ形の曲線で構成されています。

 曲線の形のテンプレートを1つ作っておくと、あとはそれをボールペンなどの先の硬いものでなぞるだけで、綺麗に折り筋を付けることができます。

 

折った後に凹となる領域(へこむ部分)に色を付けてみると、次のようになります。凹になる部分と凸になる部分が、折り線を挟んで隣り合っていることがわかります。凹と凹、凸と凸が並ぶことはありません。

 

このように凹凸を交互に配置することが、曲線で綺麗に折れる形を作る際の大事なポイントです。

 

大学をとりまく環境

内閣府の科学技術・イノベーション会議に非常勤で勤め始めて1年半が経ちました。

今は年度替わりの時期となり、各部署では恒例の人事異動でバタバタしているところです。私も4月から席が変わります。

 

これまでの期間、内閣府の内側から、大学改革に関する様々な立場からの意見を耳にしてきました。大学教員としては、異を唱えたいと感じるもの、耳の痛いもの、さまざまです。

そこで、各立場からの典型的な意見をまとめてみました。

結果、大学教員としてはかなり自虐的な内容になってしまいました。。

 

※ 以下の記述は個人的なもので、根拠のない推測も多分に含まれます。

 

■ 大学教員
学術研究は、まさに人類の叡智を拡大するための知的活動である。大学教員は、知のフロンティアに位置し、科学技術、人文社会学等の広範な領域において、新たな知の探究を行ってる。このような研究者を擁する大学は、知識の貯蔵庫として重要な役割も担っている。インターネット上のデータや書籍によるアーカイブだけでなく、まさに生身の人間が知識を開拓、保持、継承しつつ、常に最先端の学術的知識にアクセスできる状態を維持することが、国の役割である。短期的に社会に役立つか否かという、近視眼的なものの見方をしてはいけない。十年、百年の単位で見たときに、学術が社会に大いに貢献してきたことは間違いのない事実である。にもかかわらず、短期的な成果を重視する現在の風潮のもと、豊かな学問の土壌が、今まさに流れ去ろうとしている。国は産業界ばかり見るのでなく、学術的な知の価値を適切に評価しなくてはいけない。

昨今は、大学への運営費交付金が削減される中で、大学教員は競争的資金を獲得するために振り回されている。申請書類、報告書の作成に追われるだけでなく、基盤的な予算が減る方向であるために、事務職員の削減や若手教員が任期付きにならざるを得ないなど、研究環境は悪化の一途である。我々が大学の取り組みとしてできることは非常に限られている。政府、産業界からの支援をお願いしたい。


■ 財務省
我が国の財政は危機的な状況であることは周知の事実である。しかしながら、科学技術関連予算は実際には減っていない。それどころか、2000年以降は大幅に増加しているのが事実である。18歳人口は減っているのにもかかわらず、である。もうこれ以上増やすことなど、とうていできない。むしろなぜ、これだけの予算を投じているのに、世界的にわが国だけ研究力が低下している状況であるのか理解に苦しむ。研究費に対する論文数を見ると、日本は極端に論文生産性が低いというデータもある。大学の運営に問題があるのではないか。お金を入れればよい、という意見は短絡的にすぎないか。まずは大学が抱える課題に対して真摯に向き合い、自ら経営努力をする必要がある。現在の国家財政状況のもと、さらに予算をつける必要があるというのであれば、財務省だけではなく、国民全体の理解を得る努力が求められる。

 

■ 文部科学省
運営費交付金の削減は既定路線であり、これを文部科学省の力で増額することはできない。大学は、何の努力もせずに配分される交付金の減額を嘆くのではなく、我が省が苦労をして財務省を説得し、どうにか獲得した競争的資金を有意義に活用する努力をして欲しい。競争的資金は、大学改革を積極的に推進する大学に優先的に配分されるものであるから、これを有効活用して、大いに大学改革を進めて欲しい。とくに大学院教育の改革、グローバル化、産学連携など、我が国の大学が弱いとされている点を、十分に強化するように。入試改革も当然すべきである。さらに、民間企業からの寄附や共同研究費を獲得するなど、自らの力で財政基盤を強化する努力をして欲しい。

 

■ 産業界
大学における基礎的な研究が重要であることは百も承知している。大手民間企業の中央研究所が衰退した今、産学連携は経済発展のために不可欠であり、大学での基礎研究には大いに期待をしている。必要であれば、積極的に投資をしたいと思っている。しかしながら、我々は企業である以上、研究費を大学に投じるのであれば、投資する以上の成果が得られることが大前提となる。この点において、日本の大学はまったく頼りにならない。優れた研究をしている研究室の存在も知っているが、組織として小さく、多額の研究費を長期に渡って投じる相手として心もとない。今の大学は組織的なマネージメントができていないし、研究内容も世界的に見ると最先端とは言えないものも多い。総合的に検討すると、共同研究は米国の大学と行う方が良いということになってしまう。企業からの大学への投資を期待するのであれば、民間企業からの理事を入れるなどしてガバナンスを強化し、大学経営を抜本的に改革すべきである。さらに言えば、大学は企業が求める人材育成を行えていない。大学で学んだ専門性を、そのまま活用できるような職場は少ない。最先端のIT技術を使いこなす能力とともに、コミュニケーション能力、プレゼン力、そういった総合的な人間力をもった人材を育成する努力をするべきだ。


■ 学生の保護者
大学の授業料は右肩上がりだ。これだけの費用負担をする以上、それに対する資本的な見返りを期待するのは当然である。端的に言えば、卒業後には優れた企業に就職できることが保証されるような教育および進路指導をして欲しい。申し訳ないが、大学の教員の研究予算や研究時間の不足などの問題には関心が無い。それだけ環境が悪いのであれば、大学院、ましてや博士後期課程への進学などに、我が子を勧めることなどできない。最近では、入試ミスや論文不正のニュースを目にする。大学教員は、もっと気を引き締めるべきではないか。

 

■ 内閣府
今の大学の惨状には目も当てられない。危機的な状況であり、改革は、もはやまったなしである。文部科学省の高等局に大学運営をすべて任せていられない。GDP600兆円を達成するために科学技術イノベーションは必須であり、第5期科学技術基本計画においても、大学改革は重要な項目に位置づけられている。今後は我々内閣府としても積極的に関与することとする。大学改革を進めるうえで、足枷となっているような規制があれば、法改正をも積極的に行っていく。まずは、寄附税制の改革、大学間の統廃合を進めやすくするような改正に取り組む。我々が司令塔として、科学技術関連予算の拡充にも努め、SIPやImPACT、PRISMなど産学を巻き込んだ数百億円規模の国家プロジェクトも進める。これを呼び水として、大いに日本経済に貢献して欲しい。指定国立大学も拡大する。これだけ本腰を入れているのだから、大学も本気になって欲しい。

 

■ 世間一般
大学の教員は、授業は片手間。それ以外は好きな研究ができているようで羨ましい。事実、我々は在学中に大したことを学んだ記憶がないし、社会人になってから役立っていることは少ない。大学は競争の激しい民間企業と違って倒産の心配もないのだから、大学の教職員は気楽な仕事である。研究活動が人類の叡智への貢献であると標榜するのであれば、研究費が足りないなどと金銭的なサポートを要求するばかりではなく、その知を世間に還元し、自らその価値を世に問うべきである。科学技術、とくに情報科学の分野においては、GoogleやMicrosoftなど、米国の民間企業の方がはるかに最先端を行っているのではないか。人文社会学の分野では、年に1本も論文を書かない教員もいると聞く。モチベーションを失った教員、能力のない教員の処遇を改めるなど、自ら運営を改革する努力を行うべきである。

 

■ 大学
かように、大学の置かれた環境は厳しい。ついては、教員諸君においては、世間の期待に応えるべく、学部教育改革、大学院教育の実質化、入試改革、グローバル化、産学連携の強化、大学間連携、国際連携、大型プロジェクト予算の獲得、研究力強化、業績評価の厳格化、効率的な大学運営、ひいては大学ランキングの向上のために、それぞれ一層の努力をするように。

 

■ 大学教員
。。。